Сеть творческих учителей

Сеть творческих учителей

Условная вероятность. Независимость событий

Условная вероятность. Независимые и зависимые события.

 

Вероятность появления события  А  при условии, что событие  В  произошло, называется  условной вероятностью события  А  и вычисляется по формуле:

 

События  А , В Е называются независимыми, если  Р ( А В ) = Р ( А ) · Р ( В ) .

В противном случае события  А и В называются зависимыми.

События

Событие. Элементарное событие.

Пространство элементарных событий.

Достоверное событие. Невозможное событие.

Тождественные события.

Сумма, произведение, разность событий.

Противоположные события. Несовместные события.

Равновозможные события.

 

Под событием в теории вероятностей понимают любой факт, который может произойти или не произойти в результате опыта со случайным исходом. Самый простой результат такого опыта ( например, появление «орла» или «решки» при бросании монеты, попадание в цель при стрельбе, появление туза при вынимании карты из колоды, случайное выпадение числа при бросании игральной кости и т.д.)  называется  элементарным событием.

 

Множество всех элементарных событий  Е  называется  пространством элементарных событий. Так, при бросании игральной кости это пространство состоит из шести  элементарных событий, а при вынимании карты из колоды – из 52. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, например, появление двух тузов подряд при вынимании карты из колоды, или выпадение одного и того же числа при трёхкратном бросании игральной кости. Тогда можно определить событие  как произвольное подмножество пространства элементарных событий.

 

Достоверным событием называется всё пространство элементарных событий. Таким образом, достоверное событие – это событие, которое обязательно должно произойти в результате данного опыта. При бросании игральной кости таким событием является её падение на одну из граней.

 

Невозможным событием ( ) называется пустое подмножество пространства элементарных событий. То есть, невозможное событие не может произойти в результате данного опыта. Так, при бросании игральной кости невозможным событием является её падение на ребро.

 

События  А и В называются  тождественными ( А = В ), если событие  А  происходит тогда и только тогда, когда проиходит событие  В .

 

Говорят, что событие А влечёт за собой событие В ( А В ), если из условия «произошло событие А» следует «произошло событие В».

 

Событие С называется суммой событий  А и В ( С = А В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит либо  А , либо  В.

 

Событие С называется произведением событий  А и В ( С = А В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит и  А , и  В.

 

Событие С называется разностью событий  А и В ( С = АВ ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит событие  А , и не происходит событие В.

 

Событие  А’  называется противоположным событию  А , если не произошло событие А. Так, промах и попадание при стрельбе – противоположные события.

 

События  А и В называются  несовместными ( А В = ) , если их одновременное появление невозможно. Например, выпадение и «решки», и»орла» при бросании монеты.

 

Если при проведении опыта могут произойти несколько событий и каждое из них по объективным условиям не является более возможным, чем другое, то такие события называются  равновозможными. Примеры равновозможных событий: появление двойки, туза и валета при вынимании карты из колоды, выпадение любого из чисел от 1 до 6 при бросании игральной кости и т.п.

Определение и основные свойства вероятности

Аксиоматическое и классическое определение вероятности.

Вероятность события. Основные свойства вероятности.

 

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий  Е  и каждому событию  А Е  поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события  А .

 

Классическое определение вероятности. Пусть пространство элементарных событий  Е  состоит из  N  равновозможных элементарных событий, среди которых имеется  n  событий, благоприятствующих событию  А , тогда число

 

Р ( А ) = n / N

 

называется вероятностью события  А .

 

Основные свойства вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий  Е  , а вероятности  Р  определены на событиях из  Е . Тогда:

Пропорции

Пропорция. Свойства пропорций.

Производные пропорции.

 

Пропорция – это равенство двух отношений.

Из пропорции   следует:  ad = bc (произведения накрест-лежащих членов пропорции равны).
И наоборот, из равенства  ad = bc  следуют пропорции:

Все эти пропорции, а также некоторые другие, могут быть получены из исходной пропорции  a / b = c / d  по нижеследующим правилам.

 

Накрест-лежащие члены любой пропорции можно поменять местами.

 

Отношения в любой пропорции можно заменить обратными.

Производные пропорции. Если   то следующие производные пропорции, полученные из исходной, также имеют место:

Эти и другие пропорции могут быть объединены двумя основными формулами:

где m, n, k, l – любые числа.

 

П р и м е р :   Если  m = n = k = 1,   l = 0,  то мы получим:

 

Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь. Сокращение дробей.

Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей.

 

Алгебраическая дробь – это выражение вида  A / B,  где  A и могут быть числом, одночленом, многочленом. Как и в арифметике,  A называетсячислителемBзнаменателем. Арифметическая дробь является частным случаем алгебраической.

 

Сокращение дробей

П р и м е р :

Сложение и вычитание дробей

 

Для сложения или вычитания двух или нескольких дробей, необходимо выполнить те же самые действия, что и в арифметике.

П р и м е р :

Умножение и деление дробей

 

Умножение и деление алгебраических дробей ничем не отличаются от тех же действий в арифметике. Сокращение дроби можно выполнить как до, так и после умножения числителей и знаменателей.

 

П р и м е р :

Разложение многочленов на множители

В общем случае разложение многочленов на множители не всегда возможно. Но существует несколько случаев, когда это выполнимо.

  1. Если все члены многочлена содержат в качестве сомножителя одно и то же выражение, то его можно вынести за скобки (см. раздел «Одночлены и многочлены»).

  2. Иногда, группируя члены многочлена в скобки, можно найти общее выражение внутри скобок, это выражение можно вынести в качестве общего множителя за скобки, а после этого другое общее выражение окажется внутри всех скобок. Тогда его следует также вынести за скобки и многочлен будет разложен на множители.

 

П р и м е р :    ax+ bx+ ay+ by = ( ax+ bx ) + ( ay + by ) =  

                        = x( a + b ) +  y ( a +  b ) = ( x + y ) ( a +  b ) .

  3. Иногда включение новых взаимно уничтожающихся членов помогает разложить многочлен на множители.

 

П р и м е р :     y2 – b2  = y2 + yb – yb – b2 = ( y2 + yb )( yb + b2 ) = 

                         = y ( y + b ) – b ( y + b ) = ( y + b ) ( y – b ) .

Деление многочленов

Что значит разделить один многочлен  P на другой  Q ?  Это значит найти многочлены М (частное) и N (остаток), удовлетворяющие двум требованиям:

 

1)  имеет место равенство:  MQ + N = P ;

 

2)  степень многочлена N меньше степени многочлена Q.

 

 Деление многочленов может быть выполнено по следующей схеме:

 

1)  Делим первый член 16a³ делимого на первый член 4a² делителя; результат 4a является первым членом частного.

 

2)  Умножаем полученное выражение 4на делитель 4a² – a + 2 ; записываем результат 16a³4a² + 8a под делимым (один подобный член под другим).

 

3)  Вычитаем почленно этот результат из делимого и сносим вниз следующий по порядку член делимого 7; получаем остаток 12a²13a + 7 .

 

4)  Делим первый член 12a² этого выражения на первый член  4a² делителя;  результат 3 – это второй член частного.

 

5)  Умножаем этот второй член частного 3 на делитель 4a² – a + 2 и вновь записываем результат 12a²3a + 6 под делимым (один подобный член под другим).

 

6)  Вычитаем почленно полученный результат из предыдущего остатка и получаем второй остаток:  10a + 1. Его степень меньше степени делителя, поэтому деление заканчивается.

В результате получили частное 4a + 3 и остаток  10 a + 1.

Одночлены и многочлены

Одночлен. Коэффициент. Числовой множитель. Подобные одночлены.

Степень одночлена. Сложение одночленов. Приведение подобных членов.

Вынесение за скобки. Умножение одночленов.  Деление одночленов.

Многочлен. Степень многочлена. Умножение сумм и многочленов.

Раскрытие скобок.

 

Одночлен – это произведение двух или нескольких сомножителей, каждый из которых либо число, либо буква, либо степень буквы. Например,

 

3 a 2 b 4 ,    b d 3 ,    17 a b c

 

— одночлены. Единственное число или единственная буква также могут считаться одночленом. Любой множитель в одночлене называетсякоэффициентом. Часто коэффициентом называют лишь числовой множитель. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются лишь коэффициентами. Поэтому, если два или несколько одночленов имеют одинаковые буквы или их степени, они также подобны.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех его букв.

 

Сложение одночленов. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более простому виду:

 

a x 3 y 2  5 b 3 x 3 y 2 + c 5 x 3 y 2 = ( a – 5 b 3 + c 5 ) x 3 y 2 .

 

Эта операция называется приведением подобных членов. Выполненное здесь действие называется также вынесением за скобки.

 

Умножение одночленов. Произведение нескольких одночленов можно упростить, если только оно содержит степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатели степеней складываются, а числовые коэффициенты перемножаются.

П р и м е р :

5  a x 3 z 8 ( 7 a 3 x 3 y 2 ) =  – 35 a 4 x 6 y 2 z 8 .

Деление одночленов. Частное двух одночленов можно упростить, если делимое и делитель имеют некоторые степени одних и тех же букв или числовые коэффициенты. В этом случае показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого, а числовой коэффициент делимого делится на числовой коэффициент делителя.

П р и м е р :

35 a 4 x 3 z 9 : 7 a x 2 z 6 = 5 a 3 x z 3 .

Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.

Умножение сумм и многочленов. Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слагаемых на это выражение:

 

( p+ q+ r ) a = pa+ qa+ ra      —  раскрытие скобок.

 

Вместо букв  p, q, r, a может быть взято любое выражение.

 

П р и м е р :

 

( x+ y+ z )( a+ b ) = x( a+ b ) + y( a+ b ) + z( a+ b ) =

= xa + xb +  ya + yb +  za +  zb .

 

Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слагаемого одной суммы на каждое слагаемое другой суммы.

Формулы сокращённого умножения

Из правил умножения сумм и многочленов легко получить следующие семь формул сокращённого умножения.

Их следует знать наизусть, так как они применяются практически во всех задачах по математике.

[1]       ( a + b )²  =  a²  + 2ab + b² ,

[2]       ( a b )²  =  a²  2ab + b² ,

[3]       ( a + b ) ( a b ) = a²  –  b²,

[4]       ( a + b )³  =  a³  + 3a² b + 3ab²  + b³ ,

[5]       ( a b )³  =  a ³  3a² b + 3ab²  b³ ,

[6]       ( a + b )( a²  ab + b² ) =  a³ + b³ ,

[7]       ( a b )( a ²  + ab + b² ) =  a³ b³ .

П р и м е р .   Вычислить  99³,  используя формулу [5] .

 

Р е ш е н и е :   99³ = (100 – 1)³ = 1000000 – 3 · 10000 · 1 + 3 · 100 · 1 – 1 = 970299.